Quantas sementes cabem numa moeda?

Uma moeda de 1 real tem 27 mm de diâmetro. A pergunta parece de brincadeira. Quantas sementes de 5,2 × 2,3 mm cabem em cima dela? A resposta depende de como elas chegam lá.

A animação acima é uma simulação com sementes-modelo. Elas caem uma de cada vez, em lugar sorteado. Se a nova semente encosta numa que já está lá ou passa da borda, ela é descartada e outra tenta. Nesta rodada, a moeda travou em 25 sementes. Outro sorteio pode parar um pouco acima ou um pouco abaixo.

Ao acaso, sobra vão

As 25 sementes cobrem 42% da área da moeda. Mais da metade fica vazia, e mesmo assim não entra mais nenhuma. A gente testou mais 200 mil posições sorteadas, com sementes de todos os tamanhos do lote, e nenhuma achou lugar. Os vãos que sobram são menores que uma semente inteira.

Cada semente que cai ao acaso deixa em volta um espaço que nenhuma outra consegue usar. Na física, esse processo tem nome, adsorção sequencial aleatória. Ele sempre trava antes de encher, porque os vãos ficam pequenos demais.

O problema tem até história. Em 1958, o matemático húngaro Alfréd Rényi perguntou quantos carros cabem numa rua quando cada um estaciona num lugar sorteado. Os carros acabam ocupando 74,8% da rua, e o resto são vagas curtas demais. No plano, discos sorteados travam em 54,7% da área, e elipses com o dobro do comprimento da largura, em 58%. A moeda fica abaixo disso, com 42%, porque a borda também rouba espaço: perto dela, quase nenhuma semente cabe inteira.

Arrumadas, caberiam mais

A área dá o teto. A moeda tem 573 mm². Uma semente-modelo, tratada como elipse de 5,2 × 2,3 mm, tem 9,4 mm². Dividindo uma pela outra, dá 61 sementes.

Nenhum arranjo chega a 61 sementes, porque sementes ovais sempre deixam vão entre si. Mas em fileiras, uma do lado da outra, como tijolos, cabem bem mais que as 25 sementes do sorteio. Quantas? A gente fez a conta. Com a semente média, de 5,2 × 2,3 mm, e o mesmo vão de 0,05 mm da simulação, a melhor arrumação em fileiras que achamos põe 43 sementes na moeda, cobrindo 71% da área. Testamos milhares de redes, giradas e deslocadas. Pode existir uma arrumação com uma ou duas a mais, porque para elipses dentro de um círculo não há fórmula que dê o máximo.

A pergunta é antiga. Em 1611, num livrinho sobre os flocos de neve, Johannes Kepler escreveu que nenhuma pilha de esferas iguais seria mais densa que a das balas de canhão, com 74% do espaço ocupado. A dúvida tinha chegado a ele por Thomas Harriot, a quem pediram para contar as balas empilhadas nos navios. A prova só veio em 1998, com Thomas Hales e muita conta de computador, e foi conferida passo a passo por programas de verificação até 2014. Saber quanto cabe é difícil até para a matemática.

Os contadores a vácuo usados no teste de germinação fazem esse trabalho de arrumar, como o de 1928 que aparece no primeiro post. Cada semente vai para um furo da grade, com distância fixa da vizinha.

O que a moeda ensina sobre a placa

Quando as sementes são espalhadas à mão, a posição de cada uma é um sorteio. A moeda mostra o que acontece quando a placa enche assim. Bem antes de cobrir metade da área, já tem semente quase encostada na vizinha.

Numa foto a 40 px/mm, um vão de 0,1 mm entre duas sementes vale 4 pixels. Um pouco de sombra ou de desfoque apaga esses 4 pixels, e o algoritmo vê uma semente onde há duas.

Por isso, numa bancada bem montada, as sementes ficam com um vão visível entre elas. O SeedCounter propõe separar as encostadas e você decide, mas cada separação é mais uma conferência.

Depois, conte a sua placa no SeedCounter e veja quantas encostaram.

Fontes

• Random sequential adsorption, com o problema do estacionamento de Rényi (1958) e as coberturas de discos e elipses. Wikipedia
• Kepler conjecture, com Harriot, a prova de Hales (1998) e a verificação formal (2014). Wikipedia
• As contas do post (sorteio na moeda, 200 mil tentativas e a busca da melhor rede) estão em _src/real/moeda/, no repositório do site.

Para a conta inteira: Proporções e intervalos, sobre a margem de qualquer contagem.