Teoria · Imagem e medida · Escala
Do pixel ao milímetro: escala e incerteza.
Toda medida em milímetro sai de um número só, o tamanho do pixel no plano das sementes. Esta página mostra como medir esse número com uma régua, quanto ele erra, como o erro chega no comprimento e na área, e onde a conta deixa de valer.
Aprofundar · matemática e referências
A escala
Uma imagem digital é uma grade. Cada pixel cobre um quadradinho do plano das sementes, e o lado desse quadradinho é a escala da imagem. Ela não está escrita nos pixels: precisa ser medida.
Definição
A escala \(s\) é o comprimento no objeto que corresponde a um pixel, em µm/px. O inverso, \(k = 1000/s\), é a resolução em px/mm. Quando a resolução vem em pontos por polegada, \(k = \mathrm{dpi}/25{,}4\), porque uma polegada tem 25,4 mm.
Um comprimento medido em pixels vira micrômetros multiplicado por \(s\), e uma área, multiplicada por \(s^2\):
A potência 2 da área volta em toda a página: qualquer erro relativo na escala chega dobrado na área. Para ter os números na mão, 300 dpi dão 11,8 px/mm, ou 84,7 µm/px; 1.200 dpi, 47,2 px/mm e 21,2 µm/px; 4.800 dpi, 189,0 px/mm e 5,29 µm/px. A câmera das animações do site, a 40 px/mm, fica em 25 µm/px.
Dois pontos na régua
A régua fotografada junto com as sementes dá a escala por uma divisão. Marque dois pontos sobre traços da régua que estão a \(L\) micrômetros um do outro. Se os cliques caem nas posições \(p_1\) e \(p_2\) da imagem, a distância entre eles em pixels é \(d = \lVert p_2 - p_1 \rVert\), e
Com 10 mm entre os traços e 400 px entre os cliques, \(s = 10\,000/400 = 25\) µm/px.
Quanto a escala erra
A conta (2) usa dois números medidos, e os dois têm erro. O clique cai a uns pixels do centro do traço, e o próprio traço tem largura e posição com alguma tolerância. O Guia para a Expressão da Incerteza de Medição, o GUM, trata esse caso com uma aproximação de primeira ordem: para um quociente de grandezas independentes, as incertezas relativas se somam em quadratura [1].
Resultado · incerteza da escala
Se \(d\) e \(L\) são independentes, com incertezas padrão \(u(d)\) e \(u(L)\), então
Esboço. Tome logaritmos: \(\ln s = \ln L - \ln d\). Diferenciando, \(\delta s/s = \delta L/L - \delta d/d\). Com erros pequenos e independentes, a variância da soma é a soma das variâncias, e o sinal de menos some ao elevar ao quadrado. É a lei de propagação do GUM aplicada à função \(L/d\).
De onde vêm \(u(d)\) e \(u(L)\)? Se cada clique erra com desvio padrão \(\sigma_c\) pixels em cada direção, só o erro ao longo da régua muda a distância, e os dois cliques somam: \(u(d) = \sqrt{2}\,\sigma_c\). Do mesmo jeito, se a posição de cada traço tem desvio \(\sigma_m\), \(u(L) = \sqrt{2}\,\sigma_m\). Com cliques de 1,5 px numa distância de 400 px, \(u(d)/d = 0{,}53\%\). Marcar 20 mm em vez de 10 mm divide essa parcela por dois, porque \(d\) dobra e o erro do clique não muda.
Mais leituras, e o preço de estimar o erro com poucas
Com \(n\) leituras independentes da escala, a média tem incerteza \(u(s)/\sqrt{n}\). Mas o desvio de cada leitura em geral não é conhecido de antemão: ele é estimado das próprias leituras, e com poucas leituras essa estimativa é ruim. A correção é a distribuição t de Student [2]. O intervalo de 95% da escala média é
em que \(S\) é o desvio padrão das \(n\) leituras. Com duas leituras, \(t\) vale 12,71. Um exemplo real: duas varreduras do mesmo scanner, com a régua digitalizada junto, deram 5,3648 e 5,3240 µm/px. O coeficiente de variação é baixo, 0,54%, e mesmo assim o intervalo de 95% da média é de ±4,9%. Com o mesmo coeficiente de variação, três leituras dão ±1,34%; cinco, ±0,67%; dez, ±0,39%. Um coeficiente de variação pequeno com duas leituras ainda não diz que a escala é boa. É a terceira leitura que fecha o intervalo.
Da escala para a medida
Aplicando a mesma regra a (1), com a incerteza da medida em pixels ao lado da incerteza da escala:
A parte da escala passa igual para o comprimento e dobrada para a área, porque a derivada de \(\ln s^2\) é \(2\,\delta s/s\). E ela é sistemática: todas as sementes da imagem herdam o mesmo erro de escala, e medir mais sementes não o reduz. Só uma calibração melhor reduz.
Instrumento · simulador de calibração
…
±2u da média, desvio conhecidointervalo t que cobre a escala verdadeiraintervalo t que não cobre
…
Cada linha do gráfico é uma sessão: \(n\) leituras sorteadas com os erros escolhidos, a média delas como ponto e o intervalo (4) como traço. Traços que saem do quadro terminam em seta. O erro do traço vale o desvio da posição de cada traço da régua; 20 µm é um valor ilustrativo. A semente tem 5,0 × 2,3 mm, e o intervalo dela usa só a parte da escala em (5).
Um pixel na borda
A segunda parcela de (5) vem da borda. A fronteira da semente quase nunca cai entre dois pixels, e onde exatamente ela fica depende do limiar, do foco e da luz. Um modelo simples: a borda inteira se desloca meio pixel para fora ou para dentro.
Resultado · meio pixel na borda
Numa semente de comprimento \(L\) e largura \(W\), em pixels, um deslocamento de ±0,5 px em toda a borda muda o comprimento e a largura em ±1 px, e a área, em primeira ordem, em
Demonstração para a elipse. A área é \(A = \pi a b\), com semieixos \(a = L/2\) e \(b = W/2\). Somando 0,5 px aos dois, \(\Delta A/A \approx \Delta a/a + \Delta b/b = 0{,}5/(L/2) + 0{,}5/(W/2) = 1/L + 1/W\). Num círculo, \(L = W\), e a área erra o dobro do diâmetro: a mesma regra do dobro da escala.
Em semente alongada, quem manda é a largura. Uma semente de orquídea de 0,9 × 0,24 mm a 1.200 dpi tem 42 × 11 px, e ±1 px pesa 2,4% no comprimento, 8,9% na largura e 11% na área.
Dois cuidados. Primeiro, (6) é o deslocamento sistemático da borda, que vem do limiar, do foco ou da luz. O erro aleatório da quantização, pixel a pixel ao longo da borda, se compensa em boa parte na contagem de área e pesa bem menos. Segundo, convenções de pixel também deslocam a medida: medir o comprimento entre os centros dos pixels extremos dá um pixel a menos que contar os pixels de ponta a ponta. As duas convenções existem, e a diferença entre elas é exatamente o ±1 px desta seção.
O DPI declarado e o medido
Todo arquivo de imagem pode guardar um valor de DPI, e esse valor é o que o programa que salvou o arquivo escreveu ali. Muitas câmeras gravam 72 dpi em qualquer foto, perto ou longe da mesa, e um recorte ou redimensionamento pode deixar o valor antigo no arquivo. O scanner chega mais perto, porque o passo do pixel depende da mecânica do aparelho, e mesmo assim o valor declarado precisa ser conferido.
| Escala | dpi | px/mm | µm/px | desvio |
|---|---|---|---|---|
| declarada | 3.600 | 141,7 | 7,056 | referência |
| régua, varredura 1 | 4.735 | 186,40 | 5,365 | +31,5% |
| régua, varredura 2 | 4.771 | 187,83 | 5,324 | +32,5% |
Medir com o valor declarado faria toda semente parecer 32% mais comprida e, pela potência 2, com 73% a 76% a mais de área. As duas varreduras concordaram entre si em 0,8%, e uma conferência à mão sobre a mesma régua deu 4.814 dpi. Os três valores ficam perto da resolução nominal do aparelho, 4.800 dpi: a declaração estava errada, não a régua.
A régua confere o passo do pixel, não a nitidez. Um scanner pode gravar mais pixels do que a óptica resolve, por interpolação, e então o passo vale mas o detalhe fino da borda é inventado. O perímetro é a medida que mais sofre com isso.
Em conjuntos grandes, o DPI muda de arquivo para arquivo. Numa pasta de varreduras de sementes de orquídea havia arquivos a 200, 1.200, 2.400, 3.200 e 4.800 dpi, e usar 4.800 para todos daria erro de escala de até 24 vezes nos de 200. Um TIFF pode ainda guardar várias varreduras empilhadas, de tamanhos diferentes, e quem lê só a primeira perde as outras. A escala se lê por arquivo e por quadro.
O scanner de mesa já é instrumento de leitura no laboratório de sementes, com a régua junto. Em sementes de braquiária, a leitura do tetrazólio na imagem digitalizada a 1200 dpi foi equivalente à feita no estereomicroscópio [12].
A régua fora do plano
Uma câmera comum segue, em boa aproximação, o modelo pinhole: um ponto à distância \(Z\) da lente e à altura \(X\) do eixo óptico cai na imagem na posição \(x = fX/Z\), com \(f\) a distância focal [3]. O mesmo objeto, mais longe, fica menor na imagem. A régua só dá a escala das sementes se estiver à mesma distância da lente.
Resultado · régua fora do plano
Se as sementes estão à distância \(Z_s\) da lente e a régua está \(\Delta\) mais perto, a \(Z_r = Z_s - \Delta\), a escala da régua aplicada às sementes dá
Esboço. Pela projeção, o lado do pixel \(p\) do sensor corresponde a \(s = pZ/f\) no plano à distância \(Z\). A escala verdadeira no plano das sementes é \(s_s = pZ_s/f\) e a medida na régua é \(s_r = pZ_r/f\). Medir as sementes com \(s_r\) multiplica todo comprimento por \(s_r/s_s = Z_r/Z_s\).
Com a câmera a 44 cm das sementes e a régua 2 mm mais perto da lente, apoiada na borda de uma placa, as sementes saem 0,45% menores no comprimento e 0,91% na área. Com o celular a 15 cm e a régua 5 mm acima, 3,3% e 6,6%. No scanner de mesa, régua e sementes encostam no mesmo vidro, e o problema quase some. Uma régua com uma ponta levantada em 5° também encurta na imagem, pelo fator \(\cos 5° = 0{,}9962\), ou seja, 0,38%.
Instrumento · régua fora do plano
Altura negativa quer dizer régua abaixo das sementes, mais longe da lente: aí as sementes saem maiores. A reta tem inclinação \(-1/Z_s\): quanto mais perto a câmera, mais caro cada milímetro de diferença de altura.
O perímetro digital
O contorno de uma região de pixels é uma cadeia: uma sequência de pixels de borda, cada um vizinho do seguinte. Na cadeia de 8 vizinhos de Freeman, cada passo vai para um dos oito pixels em volta, reto ou na diagonal [4]. Somar os passos com peso 1 para os retos e \(\sqrt{2}\) para os diagonais parece o jeito natural de medir o perímetro. Esse jeito superestima, e o tamanho do excesso tem fórmula.
Resultado · excesso da cadeia de 8 vizinhos
Um segmento de reta de comprimento \(\ell\) na direção \(\theta\), com \(0 \le \theta \le 45°\), vira uma cadeia de comprimento
e, com todas as direções igualmente prováveis, a razão média entre a cadeia e o comprimento verdadeiro é
Demonstração. A reta avança \(\ell\cos\theta\) na horizontal e \(\ell\sin\theta\) na vertical. Cada passo diagonal avança 1 nas duas direções e cada passo reto avança 1 só na horizontal, então a cadeia tem \(\ell\sin\theta\) passos diagonais e \(\ell(\cos\theta - \sin\theta)\) retos. O comprimento é \(\ell(\cos\theta - \sin\theta) + \sqrt{2}\,\ell\sin\theta\), que é (8). Pelas simetrias da grade, qualquer direção repete o valor de uma direção entre 0° e 45°, e a média sobre \(\theta\) uniforme é a média nesse intervalo:
Para uma curva fechada vale o mesmo, trecho a trecho. Se a orientação da semente na imagem é ao acaso, cada pedaço da borda tem direção uniforme, e a esperança do comprimento da cadeia é o fator (9) vezes o perímetro. A conta pede que a borda seja quase reta na escala de alguns pixels, o que vale para semente com dezenas de pixels de largura.
Conferido em dados publicados. Em 1.904 grãos de arroz de um conjunto que publica os descritores de cada grão [5], a razão entre o comprimento da cadeia de 8 vizinhos e o perímetro publicado foi 1,054052, a 0,07% da constante. O recíproco da constante, 0,948, é o fator de correção que Kulpa propôs para o perímetro de manchas em imagens binárias [6]: multiplicar a cadeia por ele tira o viés médio.
Estimadores melhores dão pesos diferentes aos passos ou olham vários passos de uma vez, e foram estudados a fundo [7] [8] [9] [10] [11]. Para quem mede semente, a lição prática é outra: perímetro e circularidade, \(4\pi A/P^2\), dependem do estimador, e a circularidade herda o erro ao quadrado. Um círculo perfeito medido pela cadeia de 8 vizinhos sai com circularidade perto de \(1/1{,}0548^2 = 0{,}90\), e não 1.
Com sementes reais
Uma semente de orquídea depois do tetrazólio, num recorte em que ela mede 175 px de comprimento. O recorte não tem régua, então aqui a escala é suposta: digamos que a semente tenha 0,9 mm, um tamanho comum em semente de orquídea. Reduzindo a imagem por média de área, como faria um sensor de pixels maiores, dá para ver a mesma semente a 300, 600, 1.200, 2.400 e 4.800 dpi.
300 dpi10 × 3 px
600 dpi20 × 6 px
1.200 dpi42 × 11 px
2.400 dpi85 × 22 px
4.800 dpi171 × 43 px
| Resolução | Pixels C × L | Área (px) | ±1 px no C | ±1 px na L | ±1 px na área | Medida C × L (mm) | Área (mm²) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 300 dpi | 10,0 × 3,0 | 19 | 10,0% | 33,3% | 43,3% | 0,851 × 0,254 | 0,136 |
| 600 dpi | 20,4 × 6,2 | 78 | 4,9% | 16,0% | 20,9% | 0,863 × 0,264 | 0,140 |
| 1.200 dpi | 42,4 × 11,2 | 293 | 2,4% | 8,9% | 11,3% | 0,898 × 0,238 | 0,131 |
| 2.400 dpi | 85,2 × 22,1 | 1.205 | 1,2% | 4,5% | 5,7% | 0,901 × 0,234 | 0,135 |
| 4.800 dpi | 170,7 × 43,3 | 4.832 | 0,6% | 2,3% | 2,9% | 0,903 × 0,229 | 0,135 |
A 300 dpi a semente tem 3 px de largura: ±1 px é um terço dela, e a largura medida sai 11% acima da medida a 4.800 dpi. Largura de 2 ou 3 pixels não é medida. O comprimento aguenta mais, porque tem quase quatro vezes mais pixels. E para que ±1 px pese menos de 5% na área desta semente, nem 2.400 dpi bastam: a 4.800, o peso cai para 2,9%.
O mesmo efeito aparece numa varredura inteira. Uma mesa de sementes de orquídea digitalizada a 4.800 dpi foi reduzida para 2.400 e 1.200 dpi, e as mesmas 22 sementes foram medidas nas três versões.
| Razão contra 4.800 dpi | Comprimento | Largura | Área | Perímetro | Circularidade |
|---|---|---|---|---|---|
| 2.400 dpi | 0,973 | 0,944 | 0,949 | 0,830 | 1,429 |
| 1.200 dpi | 0,905 | 0,853 | 0,850 | 0,665 | 1,977 |
Todas as medidas mudam com a resolução, mas perímetro e circularidade mudam muito mais: a 1.200 dpi o perímetro já caiu 33% e a circularidade quase dobrou. A regra que sai daqui é guardar a resolução junto com a medida, ler o DPI por arquivo e comparar perímetro e circularidade só entre imagens de mesma resolução.
No SeedCounter
No SeedCounter
A escala vem da régua da própria imagem. Você marca dois pontos sobre traços da régua e diz quantos milímetros há entre eles; o app calcula a escala em µm/px, e cada semente sai em milímetro. Dá para marcar a régua mais de uma vez: o app usa a média das leituras e mostra a dispersão entre elas, o coeficiente de variação. Com ele e o número de leituras, a conta (4) diz se mais uma leitura vale a pena. O DPI do arquivo entra como declaração, e a régua como conferência. A escala fica registrada junto com as medidas, com o DPI declarado e o medido, para quem for refazer a conta depois. A escala é decisão de quem mede: a máquina propõe, a pessoa confere.
Onde falha
Onde falha
A conta de primeira ordem supõe erros pequenos e independentes. Ela não pega erro sistemático: uma régua barata com graduação errada, o mesmo par de traços marcado de novo a cada leitura, ou a escala lida num canto da imagem e usada no outro. Contra isso, só uma régua conferida e leituras em vários pontos da imagem.
A régua fora do plano das sementes erra pela razão das distâncias, como em (7). Com a câmera perto da mesa, poucos milímetros de diferença de altura já custam porcentagens.
Lentes com distorção de barril ou de almofada fazem a escala variar do centro para a borda da imagem, e câmera inclinada em relação à mesa faz a escala variar de um lado ao outro. A régua lida no centro não vale no canto.
O DPI do arquivo pode estar errado, faltar ou mudar entre arquivos da mesma pasta, e um TIFF pode guardar várias varreduras. Com 2 ou 3 pixels na largura, a largura não é medida, e perímetro e circularidade só se comparam dentro da mesma resolução.
Num contorno simplificado, a circularidade tem outro viés além do da cadeia: no SeedCounter, o contorno de 48 lados superestima a circularidade em sementes pouco sólidas, 9,9% na mediana. Está medido, e a correção é o próximo passo.
Dados
Figuras 2 e 5 e Tabela 2: conjunto "Sementes de Orquídeas" v8, Roboflow Universe (universe.roboflow.com/sementes-de-orqudea/sementes-de-orquideas), licença CC BY 4.0; perfil, reduções e medidas calculados para esta página, com escala suposta. Tabelas 1 e 3 e a razão 1,054052: medidas feitas no desenvolvimento do SeedCounter, em varreduras com régua e no conjunto de arroz da referência 5.
Referências
- Joint Committee for Guides in Metrology (2008). JCGM 100:2008. Evaluation of measurement data: guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM). doi:10.59161/JCGM100-2008E
- Student (1908). The probable error of a mean. Biometrika 6(1), 1–25. doi:10.2307/2331554
- Hartley R., Zisserman A. (2004). Multiple View Geometry in Computer Vision, 2ª ed. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511811685
- Freeman H. (1961). On the encoding of arbitrary geometric configurations. IRE Transactions on Electronic Computers EC-10(2), 260–268. doi:10.1109/TEC.1961.5219197
- Cinar I., Koklu M. (2022). Identification of rice varieties using machine learning algorithms. Journal of Agricultural Sciences 28(2), 307–325. doi:10.15832/ankutbd.862482
- Kulpa Z. (1977). Area and perimeter measurement of blobs in discrete binary pictures. Computer Graphics and Image Processing 6(5), 434–451. doi:10.1016/S0146-664X(77)80021-X
- Proffitt D., Rosen D. (1979). Metrication errors and coding efficiency of chain-encoding schemes for the representation of lines and edges. Computer Graphics and Image Processing 10(4), 318–332. doi:10.1016/S0146-664X(79)80041-6
- Vossepoel A. M., Smeulders A. W. M. (1982). Vector code probability and metrication error in the representation of straight lines of finite length. Computer Graphics and Image Processing 20(4), 347–364. doi:10.1016/0146-664X(82)90057-0
- Dorst L., Smeulders A. W. M. (1987). Length estimators for digitized contours. Computer Vision, Graphics, and Image Processing 40(3), 311–333. doi:10.1016/S0734-189X(87)80145-7
- Koplowitz J., Bruckstein A. M. (1989). Design of perimeter estimators for digitized planar shapes. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 11(6), 611–622. doi:10.1109/34.24795
- Barba J., Chan K. S., Gil J. (1992). Quantitative perimeter and area measurements of digital images. Microscopy Research and Technique 21(4), 300–314. doi:10.1002/jemt.1070210407
- Custódio C.C., Damasceno R.L., Machado Neto N.B. (2012). Imagens digitalizadas na interpretação do teste de tetrazólio em sementes de Brachiaria brizantha. Revista Brasileira de Sementes 34(2), 334–341. doi:10.1590/s0101-31222012000200020
Marque a régua mais de uma vez na sua imagem.
No SeedCounter, a escala sai da régua da própria foto, e a dispersão das leituras diz quando parar.