Seis números para uma forma, e a convenção de cada um.

Área: contar pixels ou integrar o contorno

Numa imagem segmentada, a semente é um conjunto de pixels. A área mais simples é contá-los, \(A_{\text{px}} = N\), em px², que vira mm² multiplicada pelo quadrado do lado do pixel. A outra área vem do contorno. Se a borda é um polígono de vértices \((x_i, y_i)\), \(i = 0, \dots, n-1\), fechado com \((x_n, y_n) = (x_0, y_0)\), a área sai da fórmula do cadarço:

As duas áreas não dão o mesmo número, e a diferença tem fórmula exata quando o polígono passa pelos centros dos pixels da borda, como o traço que segue a borda em 8 vizinhos. Os vértices viram pontos de uma rede inteira, e vale o teorema de Pick [6].

O polígono pelos centros perde meio pixel por pixel de borda. Numa elipse digital de 221 × 64 px isso tira 1,9% da contagem; numa de 55 × 16 px, 7,9%. Nenhuma das duas áreas está errada. A contagem não tem viés quando o pixel entra pelo centro, e o polígono mede a região meio pixel para dentro. O que importa é saber qual delas está na planilha, e não misturar as duas na mesma conta (é o que dá errado na circularidade, mais abaixo).

Perímetro: o comprimento depende da régua

O perímetro é a medida mais traiçoeira das seis. Uma borda real é irregular em várias escalas, e o comprimento medido cresce conforme a régua encolhe, o problema da costa da Grã-Bretanha de Mandelbrot [5]. Numa imagem a régua é o pixel, e mesmo uma borda perfeitamente lisa vira escada.

Freeman [1] codificou a borda como uma cadeia de passos entre pixels vizinhos, cada passo numa de 8 direções, de 45° em 45°. O comprimento natural da cadeia conta 1 para cada passo horizontal ou vertical e \(\sqrt2\) para cada diagonal:

Esse comprimento erra para cima, e dá para dizer quanto. Tome um trecho reto de borda, de comprimento 1, com ângulo \(\theta \in [0, \pi/4]\) em relação à horizontal. Ele avança \(\cos\theta\) na horizontal e \(\sin\theta\) na vertical. O caminho mais curto na grade de 8 vizinhos faz \(\sin\theta\) de diagonal e \(\cos\theta - \sin\theta\) de reto, e mede

Vale 1 em 0° e em 45°, e chega a \(\sqrt{4 - 2\sqrt2} \approx 1{,}0824\) em 22,5°: até 8,2% a mais só por causa da direção do trecho.

A conta foi conferida em dado real. Em 1.904 grãos de arroz de um conjunto publicado [10][11], a razão entre os perímetros das duas réguas, a do SeedCounter e a do conjunto, ficou em 1,054052, a 0,07% do valor teórico: uma das duas segue a cadeia de 8 vizinhos e a outra desconta o viés. A correção acerta a média e não cada trecho: com o fator 0,948, um trecho a 22,5° ainda sai 2,6% comprido e um trecho horizontal sai 5,2% curto. Estimadores que olham vários passos de uma vez erram menos [3][4].

Circularidade e a desigualdade isoperimétrica

Alguns valores para ter na mão: o quadrado dá \(\pi/4 \approx 0{,}785\); a elipse com o dobro do comprimento na largura, 0,84; o polígono regular de \(n\) lados, \(C_n = \pi / (n\tan(\pi/n))\), que dá 0,9986 com 48 lados. A semente de orquídea do kit fica perto de 0,4.

Numa imagem, porém, a circularidade passa de 1 sem esforço. A desigualdade (8) vale para uma curva e a área dessa mesma curva. Quando a área vem de uma convenção e o perímetro de outra, ela não garante nada. A tabela mede o mesmo disco digital de quatro jeitos.

Circularidade de discos digitais, média de 40 discos com o centro sorteado dentro do pixel; em laranja, valores acima de 1. Simulação nossa, refeita pelo script da página.

A coluna do polígono pelos centros nunca passa de 1, porque ali área e perímetro são da mesma curva. Ela fica abaixo de 1 e, nos discos maiores, perto de \(1/1{,}0548^2 \approx 0{,}899\): o viés da cadeia, ao quadrado. A borda dos pixels em 4 vizinhos tende a \(\pi^2/16 \approx 0{,}617\), porque mede o disco como uma escada de comprimento \(8r\). E juntar a contagem de pixels, que vai até a borda de fora, com um perímetro corrigido, que passa pelos centros, dá círculos pequenos com circularidade perto de 1,4. A circularidade só se compara entre medidas feitas com a mesma convenção e na mesma resolução.

Diâmetros de Feret e os compassos rotativos

O diâmetro de Feret numa direção é a abertura de um paquímetro com as hastes perpendiculares a ela. Com \(u_\theta = (\cos\theta, \sin\theta)\),

Como \(\langle p, u\rangle\) é linear em \(p\), o máximo e o mínimo sobre a semente são os mesmos que sobre o seu fecho convexo, e num polígono convexo eles caem em vértices. Basta então o fecho, que a cadeia monótona de Andrew calcula em \(O(n\log n)\) [8].

Os compassos rotativos de Shamos e Toussaint usam isso: dois apoios percorrem o fecho só para a frente e acham os dois diâmetros em tempo linear, depois do fecho [9]. O paquímetro que gira em Aprender mostra o mesmo em movimento. O Feret é o descritor mais estável da página: depende só do fecho, e o fecho ignora reentrâncias e ondulações para dentro.

Razão de aspecto: duas convenções

Comprimento sobre largura parece uma conta só. Há duas em uso. A primeira é a do paquímetro, \(R_F = F_{\max}/F_{\min}\). A segunda vem da elipse de inércia. Os momentos centrais de segunda ordem da região,

formam a matriz de covariância da região. Com autovalores \(\lambda_1 \ge \lambda_2\), a elipse uniforme com os mesmos momentos tem semieixos \(a = 2\sqrt{\lambda_1}\) e \(b = 2\sqrt{\lambda_2}\), na direção dos autovetores, e

Num polígono, os momentos saem do teorema de Green como a área. O centroide, por exemplo, é \(\bar x = \frac{1}{6A}\sum_i (x_i + x_{i+1})(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\), e há fórmulas do mesmo tipo para \(\mu_{20}\), \(\mu_{11}\) e \(\mu_{02}\). Foi assim que a forma média da trilha alinhou as sementes.

Nas sementes de orquídea do kit a mediana de \(R_F/R_E\) é 1,01, mas em 32% delas as duas razões diferem mais de 10%, e o sentido depende da forma. Nas sementes curvas (solidez abaixo de 0,8), a razão de Feret sai 9% menor na mediana, porque a largura mínima abraça a curva inteira e não só o grão. Nos polígonos quase convexos e angulosos do rótulo (solidez de 0,95 ou mais), sai 7% maior, pelo mesmo motivo do quadrado. A excentricidade carrega a mesma informação de \(R_E\), mas espremida perto de 1 nas sementes compridas: razão 3 dá 0,943, razão 4 dá 0,968, razão 5 dá 0,980. Para comparar sementes alongadas, a razão discrimina melhor que a excentricidade.

Solidez e o fecho convexo

O fecho \(\operatorname{conv}\Omega\) é o menor convexo que contém a semente, o elástico esticado em volta dela. \(S = 1\) quando a semente é convexa, e cai com qualquer reentrância: curvatura, entalhe, quebra, duas sementes encostadas. É o descritor natural para desconfiar de um contorno, porque um aglomerado quase sempre tem solidez menor que uma semente isolada da mesma espécie.

Como a área, o fecho tem duas convenções em uso: o polígono convexo pelos centros dos pixels, ou o conjunto de pixels que cai dentro dele. O segundo é maior, e a solidez muda junto. É uma das duas convenções que explicam as divergências no arroz, logo abaixo.

O que cada número ignora

A norma ISO 9276-6 dá regras e nomenclatura para descrever a forma de partículas, com as definições quase todas em duas dimensões, justamente porque a medida costuma vir de análise de imagem [12]. A tabela resume o que cada um dos seis ignora e o que o atrapalha.

Os seis são invariantes a translação e rotação no plano contínuo. Na grade, não exatamente: girar a semente na foto não muda a contagem de pixels, a menos da borda, mas muda o perímetro da cadeia em até 8,2% num trecho reto, pela equação (5). Os três sem unidade dispensam a régua, e foi por isso que a trilha Forma conseguiu comparar recortes com ampliações diferentes.

Com sementes reais

As 1.407 sementes de orquídea do kit que não encostam na borda do recorte, medidas no polígono do rótulo:

Dados reais Média ± desvio-padrão e mediana por classe. Só descritores sem unidade: os recortes não têm a mesma ampliação, e o que é medido em pixel mistura semente e zoom (veja O tamanho engana).

A viável sai um pouco mais alongada e um pouco menos circular, como a forma média da trilha já mostrava. A solidez pede cuidado, porque ela mede o rótulo tanto quanto a semente. Polígonos de 4 a 8 vértices quase não conseguem desenhar reentrância, e os de 13 a 20 já registram curvas e pontas:

Dados reais Medianas por faixa de número de vértices do polígono do rótulo. Os rótulos de 60 vértices ou mais seguem os pixels da borda, em escada, e entram com o viés da cadeia.

Dentro da mesma faixa de vértices as duas classes ficam parecidas na solidez. Como as viáveis foram contornadas com mais vértices (mediana 12 contra 9), parte da diferença de solidez entre as classes na primeira tabela é do contorno, e não da semente. Um descritor mede o contorno que recebe.

Instrumento: o polígono que perde vértices

O instrumento faz o caminho inteiro de uma medida. Uma forma de referência, o contorno de uma semente real do kit alisado por uma curva suave ou uma figura exata, é pintada numa grade de pixels. A borda é seguida em 8 vizinhos, e o traço é reduzido a \(n\) vértices tomados a intervalos iguais ao longo dele. A cada etapa as contas são refeitas. A rugosidade põe na borda ondulações de 3 a 12 px de comprimento, como as que uma segmentação real deixa.

Três coisas para procurar. Sem rugosidade e com muitos vértices, o perímetro do traço fica perto de 5% acima da referência, o fator de Freeman da equação (6), e a circularidade do traço cai de 10% a 15%: o perímetro sobe e a área do polígono pelos centros desce, pela equação (3). Com rugosidade, o polígono de poucos vértices passa por cima das ondulações, encurta o perímetro e infla a circularidade. E nenhum \(n\) zera o erro em toda forma: o ponto em que a curva cruza o 1 muda com a forma, com a resolução e com a rugosidade. A área quase não se mexe com nada disso; o perímetro, e com ele a circularidade, se mexe com tudo.

No SeedCounter

Onde falha

Referências

1. Freeman H. (1961). On the encoding of arbitrary geometric configurations. IRE Transactions on Electronic Computers EC-10(2), 260–268. doi:10.1109/TEC.1961.5219197
2. Kulpa Z. (1977). Area and perimeter measurement of blobs in discrete binary pictures. Computer Graphics and Image Processing 6(5), 434–451. doi:10.1016/S0146-664X(77)80021-X
3. Dorst L., Smeulders A. W. M. (1987). Length estimators for digitized contours. Computer Vision, Graphics, and Image Processing 40(3), 311–333. doi:10.1016/S0734-189X(87)80145-7
4. Koplowitz J., Bruckstein A. M. (1989). Design of perimeter estimators for digitized planar shapes. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 11(6), 611–622. doi:10.1109/34.24795
5. Mandelbrot B. (1967). How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension. Science 156(3775), 636–638. doi:10.1126/science.156.3775.636
6. Pick G. (1899). Geometrisches zur Zahlenlehre. Lotos, Zeitschrift für Naturwissenschaften 47, 311–319.
7. Osserman R. (1978). The isoperimetric inequality. Bulletin of the American Mathematical Society 84(6), 1182–1238. doi:10.1090/S0002-9904-1978-14553-4
8. Andrew A. M. (1979). Another efficient algorithm for convex hulls in two dimensions. Information Processing Letters 9(5), 216–219. doi:10.1016/0020-0190(79)90072-3
9. Toussaint G. T. (1983). Solving geometric problems with the rotating calipers. Em Proceedings of MELECON '83, Mediterranean Electrotechnical Conference, Atenas, A10.02/1–4. IEEE.
10. Cinar I., Koklu M. (2022). Identification of rice varieties using machine learning algorithms. Journal of Agricultural Sciences (Tarım Bilimleri Dergisi) 28(2), 307–325. doi:10.15832/ankutbd.862482
11. Koklu M., Cinar I., Taspinar Y. S. (2021). Classification of rice varieties with deep learning methods. Computers and Electronics in Agriculture 187, 106285. doi:10.1016/j.compag.2021.106285
12. ISO 9276-6:2008. Representation of results of particle size analysis, Part 6: Descriptive and quantitative representation of particle shape and morphology. International Organization for Standardization.